اكتشف الطريقة الفعالة لحل نظام من معادلتين خطيتين بيانيًا ببساطة وسهولة!

يعتبر علم الرياضيات أحد العلوم الأساسية التي تلعب دورًا محوريًا في مختلف مجالات الحياة،من بين المواضيع الرياضية المتعددة، يظهر مفهوم المعادلات الخطية كأداة قوية لحل المشكلات وتحليل البيانات،في هذا المقال، سنتناول كيفية حل نظام من معادلتين خطيتين بطريقة بيانية، مما يجعل من السهل على الطلاب فهم هذا المفهوم المعقد بشكل مقدم ومتدرج،إن معرفة كيفية التعامل مع أنظمة المعادلات تعزز من مهارات الأفراد في التفكير المنطقي وحل المشكلات، وهو ما يسعى إليه الكثير من الطلاب خلال دراستهم،سنبدأ بمقدمة أساسية حول المعادلات الخطية، ثم ننتقل إلى كيفية حلها بطريقة بيانية، وسنعرض مثالاً توضيحيًا لتبسيط الفكرة، ثم قسم الأنظمة بناءً على عدد الحلول الممكنة، وختمنا بملخص وجيز يختصر ما تم تناوله،

حل نظام من معادلتين خطيتين بيانياً يعني إيجاد قيمة المتغيرات المجهولة في تلك المعادلات،فمثلاً، إذا كانت لدينا المعادلة س + 3 = 9، فإننا نسعى لإيجاد قيمة (س) من خلال عزل المتغير،في هذه الحالة، نقوم بنقل العدد 3 إلى الطرف الآخر من المعادلة مع تغيير إشارته، مما يجعلها تبدو كالتالي س = 9 – 3، وبالتالي نحصل على س = 6،هذه الطريقة تستخدم عندما يكون لدينا متغير واحد فقط،لكن ماذا نفعل عندما نقابل معادلتين تحتويان على متغيرين هنا يأتي دور نظام المعادلات، حيث سنحتاج إلى معادلة إضافية للاستمرار في حل المسألة.

عندما نتحدث عن نظام من معادلتين خطيتين، فإن هذا يعني وجود معادلتين يجب إيجاد الحقل المشترك بينهما،على سبيل المثال، إذا كانت لدينا المعادلتان س + ص = 20 و 5 س + 5 ص = و، فإننا نتحدث عن نظام ينظر إلى الحلين في وقت واحد، حيث يتطلب الأمر تحديد قيمتي س وص معاً،هذه العملية تُعرف أيضاً بحل نظام من المعادلتين بطريقة بيانية، أي من خلال رسم المعادلتين ثم تحديد النقطة التي تتقاطعان عندها، والتي تمثل الحل المطلوب.

تستند الطرق البيانية إلى رسم الخطوط المستقيمة الممثلة للمعادلات، حيث يُظهر كل خط مجموعة الحلول الممكنة للمعادلة الخاصة به،لحل نظام مثل هذا، نقوم برسم المعادلتين على محور الإحداثيات،قد تكون هناك ثلاث حالات ممكنة يمكن أن تحدث عندما نتعامل مع النظام، وهي وجود حل وحيد، وجود عدد لا نهائي من الحلول، أو عدم وجود حلول على الإطلاق،عندما نحل هذا النظام، يكون الحل المفترض عبارة عن زوج مرتب (س، ص) يُظهِر إحداثيات النقطة التقاط، بينما إذا كانت المعادلتان متطابقتين، فإن لدينا عددًا لا نهائيًا من الحلول،إذا كانت المعادلتان متوازيتان، فهذا يعني عدم وجود حلول للنظام.

لكي نفهم كيفية حل نظام المعادلتين بيانيًا، دعونا نبدأ بمثال محدد،لنفرض أن النظام الذي لدينا هو كالتالي

ص = م1 س + ب1

ص = م2 س + ب2

هذا يعني أن لدينا معادلتين تحتويان على متغير س،لحل هذا النظام، سنقوم برسم المنحنيين الممثلين للمعادلات،الحلول الممكنة لحل هذا النظام المكون من معادلتين بيانيًا هي عدة أنواع، فإما أن يكون لدينا حل وحيد، عدد لا نهائي من الحلول، أو أنه مستحيل الحل.

• حل وحيد عند تقاطع المستقيمين في نقطة واحدة، حيث يمثل هذا التقاطع الحل.
• عدد لا نهائي من الحلول عندما يكون المستقيمان متطابقين.
• مستحيل الحل عندما يكون المستقيمان متوازيين ويفتقران إلى نقطة التقاطع.

بالإضافة إلى ذلك، يمكن تصنيف الأنظمة حسب عدد الحلول كما يلي

• نظام متسق هو النظام الذي له حل، إما كان هذا الحل وحيدًا أو عددًا لا نهائيًا من الحلول.
• نظام غير متسق هو النظام الذي ليس له حل على الإطلاق.

من خلال التعرف على الأنظمة المختلفة، يمكننا أن نفهم أنه في حالة حلول ومعادلات، إذا كان لدينا ميل مختلف بين المعادلتين، فإن هذا يعني أن لدينا نظامًا متسقًا ومستقلاً،أما إذا كان الميل نفسه وكان الجزء المقطوع مختلفًا، فإن المستقيمين يكونان متوازيين، مما يدل على نظام غير متسق.

لإيضاح هذه النقاط بشكل أكبر، دعونا نقدم مثالًا عمليًا لحل نظام من معادلتين

العلاقة الأولى ص = -2س + 3

العلاقة الثانية ص = س 5

في هذا النظام، نقوم أولاً برسم المنحنيين الممثلين للعلاقتين المختلفة على محور الإحداثيات،بعد الرسم، نجد أن المنحنيين يتقاطعان في نقطة واحدة، مما يعني أن هذا النظام هو نظام متسق ومستقل ويعطينا حلًا وحيدًا.

كذلك لنفترض نظام آخر من المعادلتين ص = -2س ه وص = -2س + 3،هنا، نقوم أيضًا برسمهما، ولكن بدلاً من ذلك نجد أن المستقيمين متوازيان، مما يشير إلى عدم وجود نقاط التقاء وبهذا فإن الحل مستحيل، وبذلك يطلق عليه نظام غير متسق.

بتوضيح هذه الأمثلة، يمكننا أن نشير إلى أهمية فهم كيفية التعامل مع الأنظمة من المعادلات الخطية،لقد قدمنا شرحًا شاملًا حول كيفية حل نظام من معادلتين خطيتين بيانيًا، مع تعزيز المفاهيم بمثالين تفاعليين،من المهم للطلاب الاستمرار في ممارسة الرياضيات وتطبيق المفاهيم المكتسبة، حيث إن الممارسة ستساعدهم على تعزيز ثقتهم في القدرة على حل هذه الأنظمة،نأمل أن يكون هذا المقال قد أضاف لمسات مفيدة لمعلوماتكم حول هذا الموضوع، مع تمنياتنا لكم بالتوفيق في رحلتكم التعليمية.